Cher journal intime,
Comme tu le sais déjà, Z/Zn est un anneau, quoi qu'il arrive.
Mais qu'est ce qui peut assurer l'inversibilité de chacun de ses éléments ?
Je veux essayer de répondre, sans utiliser les théorèmes d'intellos autistes que je ne comprends pas !
1) Si n n'est pas premier, c'est vite réglé :
On peut trouver p > 1 qui divise n...
... et tu fais comment maintenant pour trouver des candidats à :
p * q = s * n + 1 ???
(Oui, on reconnaît l'identité de bezout... comme quoi ce n'est pas idiot)
Partons de p.
p = n * 0 + p, et p > 1
Ensuite, on colle successivement (itérativement) des p :
p + p = 0 * n + 2p, et 2p > 1 bien sûr
On continue à coller des morceaux jusqu'à ce qu'à atteindre n (puisque p divise n)
p * q = n + 0
En collant le suivant, on revient au début et ça boucle !
p * (q+1) = n + p
Donc le plus petit reste qu'on peut obtenir en multipliant p par quelque chose et divisant par n... c'est p > 1 !
Donc, si n est non premier, il existe au moins un élément de Z/Zn* non inversibe.
2) Si n est premier :
Prenons un p quelconque entre 2 et n - 1, et cherchons si on lui trouve un inverse dans Z/Zn.
Pour cela, regardons juste ce qu'il se passe quand on tente de le multiplier par chacun des éléments :
r = 0 * p mod n
r = 1 * p mod n
r = 2 * p mod n
...
r = n-1 * p mod n
Sur un exemple, p = 7, n = 11
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| p * i | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| r | 0 | 7 | 3 | 10 | 6 | 2 | 9 | 5 | 1 | 8 | 4 |
(Ho, ça m'a bien fait réviser mes tables de 7 et de 11 !)
=> Si on trouve un inverse, c'est bien parce que l'opération * p réalise une permutation de Z/Zn !
(En clair, si en itérant 11 fois, je trouve 11 résultats différents entre 0 et 10, je vais forcément tomber une fois sur le gros lot...)
Ca se montre et s'explique aisément :
Si jamais on trouvait deux fois le même résultat, pour deux multiplicateurs différents q' > q, on sait que la différence aurait un reste nul par la division par n :
p * q' - p * q = k n
p * (q' - q) = k n
Et comme q' - q est compris entre 1 et n-1, on aurait :
- soit q' - q = 1 et donc p = k n : ouh là, pas possible
- soit q' - q > 1 et là on a trouvé un diviseur à n qui est premier : pas possible non plus !
C'est donc impossible, et on retrouve en fait sur la fameuse boucle qu'on avait eu plus haut : si on retombe deux fois sur le même reste, c'est qu'on est en train de boucler... et donc on a du passer par zéro.
Donc, si n est premier, tout p de Z/Zn* est inversible.
3) Allez, pour ne pas piéger les petits jeunes de terminale qui doivent vraiment démontrer le truc au bac, on va quand même rappeler la démonstration instantannée par l'identité de bezout.
Soit n entier strictement supérieur à 0.
Z/Zn est un corps si et seulement :
Pour tout p différent de 0 appartenant à Z/Zn, il existe q appartenant Z/Zn tel que p * q = 1 (multiplication dans Z/Zn)
<=> il existe k entier naturel tel que :
p * q = k * n + 1
p * q + (-k) * n + 1
Z/Zn est un corps si et seulement si quelque soit p dans [1,n-1], p et n sont premiers entre eux.
... ce qui veut exactement dire que n est premier !
